北师大版九上数学4.7 相似三角形的性质 知识点精讲
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知识点总结
6.相似三角形的性质
相似三角形的性质★★★相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形性质定理1★★★ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形性质定理2★★★ 相似三角形的周长的比等于相似比.
相似三角形性质定理3★★★ 相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
要点解析
1.性质定理1和定理2可以概括为：
相似三角形中对应线段（高、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比.
即相似三角形对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长的比=相似比.
在这些比例中，只要知道任何一组线段的比，就可以求出其他对应线段的比.
2.相似三角形的性质3为：相似三角形的面积比=相似比的平方，要防止出现“面积比=相似比”的错误.
如果其中两个三角形相似，它们之间有怎样的性质呢？
相似三角形线段的关系
相似三角形周长和面积的关系
周长比等于相似比 。
面积的比等于相似比的平方 。
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边的比相等;
(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;
(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
(4)射影定理
习题讲析
△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是
A、5cm
B、10cm
C、15cm
D、30cm
C
由△ABC的三边之比为3：4：5，根据相似三角形的对应边成比例，可得与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，又由与其相似的△DEF的最短边是9cm，即可求得答案。
解：∵△ABC的三边之比为3：4：5，
∴与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，
∵与其相似的△DEF的最短边是9cm，
∴其最长边的长是：15cm．
故选：C．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′．能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．
解析：
（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？
图文导学
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