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北师大版八下数学2.2《不等式的基本性质》知识点精讲

全册精讲+→ 班班通教学系统 2022-04-10

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 1.1 《等腰三角形》 知识精讲

1.2 《 直角三角形》 知识精讲

 1.3 《线段的垂直平分线》

1.4《角平分线》 知识点精讲
 2.1《不等关系》 知识点精讲

知识点、概念总结

不等式的基本性质有对称性,传递性,加法单调性,即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。

1不等式的基本性质

1.如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)

2.如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)

3.如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;

4.如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;

5.如果x>y,z<0,那么xz<yz, 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变;

6.如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;

7.如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;

8.如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)。

2不等式的基本性质的另一种表达方式

1.对称性;

2.传递性;

3.加法单调性,即同向不等式可加性;

4.乘法单调性;

5.同向正值不等式可乘性;

6.正值不等式可乘方;

7.正值不等式可开方;

8.倒数法则。

如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式。


1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。


2.不等式的性质:
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有:
(1) a>bb<a (对称性)

(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时,a>bac>bc
c<0时,a>bac<bc。

运算性质有:
  (1) a>b, c>da+c>b+d。
  (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
  (3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
  (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。


教学设计

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1.使学生理解掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.

2.灵活运用不等式的基本性质进行不等式形.

(二)能力训练点

培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力.

(三)德育渗透点

培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神.

(四)美育渗透点

通过不等式基本性质的学习,渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美,激发学生探究数学美的兴趣与激情,从而陶治学生的数学情操。

二、学法引导

1.教学方法:观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.

2.学生学法:通过观察、分析、讨论,引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质,从具体下升到理论,再由理论指导具体的练习,从而强化学生对知识的理解与掌握.

三、重点·难点·疑点及解决办法

(一)重点

掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.

(二)难点

正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.

(三)疑点

弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点.

(四)解决办法

讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键.

四、课时安排

一课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.通过设计的一组比较大小问题,让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质.

2.通过教师的讲解及学生的质疑,让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质.

3.通过教师的板书及学生的互动练习,体现出以学生为主体,教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育.

七、教学步骤 

(-)明确目标

本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用.

(二)整体感知

通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质,再反复比较三条性质的异同,从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件,同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较:相同点为不管是对等式还是不等式,都可以在它的两边同加(或减)同一个数或同一个整式.不同点是对于等式来说,在等式的两边乘以(或除以)同一个正数(或同一个负数)的情况下等式仍然对立.但对于不等式来说,却不一样,在用同一个正数去乘(或除)不等式两边时,不等号方向不变;而在用同一个负数去乘(或除)不等式两边时,不等号要改变方向.这是在不等式变形时应特别注意的地方.

(三)教学过程 

1.创设情境,复习引入

什么是等式?等式的基本性质是什么?

学生活动:独立思考,指名回答.

教师活动:注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数,所得结果仍是等式.

请同学们继续观察习题:

(1)用“>”或“<”填空.

①7+3____4+3 ②7+(-3)____4+(-3)

③7×3____4×3 ④7×(-3)____4×(-3)

(2)上述不等式中哪题的不等号与7>4一致?

学生活动:观察思考,两个(或几个)学生回答问题,由其他学生判断正误.

【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新,为学习本节内容提供必要的知识准备.

不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比,大家知道,等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式(实质是移项法则),请同学们观察①②题,并猜想出不等式的性质.

学生活动:观察思考,猜想出不等式的性质.

教师活动:及时纠正学生叙述中出现的问题,特别强调指出:“仍是不等式”包括两种情况,说法不确切,一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变.”

师生活动:师生共同叙述不等式的性质,同时教师板书.

不等式基本性质1  不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.

对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考,不等式类似的性质会怎样?

学生活动:观察③④题,并将题中的3换成5,-3换成一5,按题的要求再做一遍,并猜想讨论出结论.

【教法说明】观察时,引导学生注意不等号的方向,用彩色粉笔标出来,并设疑“原因何在?”两边都乘(或除以)同一个负数呢?0呢?为什么?

师生活动:由学生概括总结不等式的其他性质,同时教师板书.

不等式基本性质2  不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

不等式基本性质3  不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

师生活动:将不等式-2<6两边都加上7,-9,两边都乘3,-3试一试,进一步验证上面得出的三条结论.

学生活动:看课本第57~58页有关不等式性质的叙述,理解字句并默记.

强调:要特别注意不等式基本性质3.

实质:不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“+”、“-”、“×”、“÷”四则运算,当进行“+”、“-”法时,不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时,不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向才改变.

不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?

学生活动:思考、同桌讨论.

归纳:只有乘(或除以)负数时不同,此外都类似.下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质.

①若 ,则 , ;

②若 ,且 ,则 , ;

③若 ,且 ,则 , .

师生活动:学生思考出答案,教师订正,并强调不等式性质3的应用.

注意:不等式除了上述性质外,还有以下性质:①若 ,则 .②若 ,且 ,则 ,这些先不要向学生说明.

2.尝试反馈,巩固知识

请学生先根据自己的理解,解答下面习题.

例1  根据不等式的基本性质,把下列不等式化成 或 的形式.

(1) (2) (3) (4)

学生活动:学生独立思考完成,然后一个(或几个)学生回答结果.

教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成,指定两个学生板演,然后师生共同判断板演是否正确.

解:(l)根据不等式基本性质1,不等式的两边都加上2,不等号的方向不变.

所以

(2)根据不等式基本性质1,两边都减去 ,得

(3)根据不等式基本性质2,两边都乘以2,得

(4)根据不等式基本性质3,两边都除以-4得

【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比,并将原题与 或 对照,看用哪条性质能达到题目要求,要强调每步的理论依据,尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别,解题时书写要规范.

例2  设 ,用“<”或“>”填空.

(1) (2) (3)

学生活动:在练习本上完成例2,由3个学生板演完成后,其他学生判断板演是否正确,最后与书中正确解题格式对照.

解:(1)因为 ,两边都减去3,由不等式性质1,得

(2)因为 ,且2>0,由不等式性质2,得

(3)因为 ,且-4<0,由不等式性质3,得


教师活动:巡视辅导,了解学生作题的实际情况,及时给予纠正或鼓励.

注意问题:例2(3)是根据不等式性质3,不等号方向应改变.这是学生做题时易出错误之处.

【教法说明】要让学生明白推理要有依据,以后作类似的练习时,都写出根据,逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.变式训练,培养能力

(1)用“>”或“<”在横线上填空,并在题后括号内填写理由.(不等式基本性质1,2,3分别用A、B、C表示.)

①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( )

③∵ ∴( ) ④∵ ∴( )

⑤∵ ∴ ⑥∵ ∴ ( )

学生活动:此练习以学生抢答方式完成,目的是训练学生思维能力,表达能力,烘托学习气氛.

答案:

① (A) ② (B)

③ (C) ④ (C)

⑤ (C) ⑥ (A)

【教法说明】做此练习题时,应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比,观察它们是应用不等式的哪条性质,是怎样由已知变形得到的.注意应用不等式性质3时,不等号要改变方向.

(2)单项选择:

①由 得到 的条件是( )

A. B. C. D.

②由由 得到 的条件是( )

A. B. C. D.

③由 得到 的条件是( )

A. B. C. D. 是任意有理数

④若 ,则下列各式中错误的是( )

A. B. C. D.

师生活动:教师选出答案,学生判断正误并说明理由.

答案:①A ②D ③C ④D

(3)判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”

①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( )

③∵ ∴ ( ) ④若,则  ∴,( )

学生活动:一名学生说出答案,其他学生判断正误.

答案:①√ ②× ③√ ④×

【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情,提高课堂效率;(2)练习第③④题易出错,教师应讲清楚.

(四)总结、扩展

1.本节重点:

(1)掌握不等式的三条基本性质,尤其是性质3.

(2)能正确应用性质对不等式进行变形.

2.注意事项:

(1)要反复对比不等式性质与等式性质的异同点.

(2)当不等式两边同乘(或除以)同一个数时,一定要看清是正数还是负数,对于未给定范围的字母,应分情况讨论.

3.考点剖析:

不等式的基本性质是历届中考中的重要考点,常见题型是选择题和填空题.

八、布置作业 

(一)必做题:P61  A组4,5.

(二)选做题:P62  B组1,2,3.

参考答案

(一)4.(1) (2) (3) (4)
5.(1) (2) (3) (4) 
(5) (6)

(二)1.(1) (2) (3)

2.(1) (2) (3) (4)

3.(1) (2) (3)


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