北师大版 八年级数学下册 6.3《多边形的内角和与外角和》知识点精讲
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2.2 不等式的基本性质
一《多边形内角和与外角和》知识点
一、多边形的概念
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形
①边形有个顶点、条边、个内角。
②在多边形的基本概念中难点是对角线，从一个顶点可引条对角线，则从个顶点可引条，但是，从一点引向另一点与由另一点引向这一点重复，所以，多边形共有条对角线。
二、多边形的内角和定理
多边形的内角和等于°
①对于公式的理解可以认为从一个顶点引条对角线，把边形分成个三角形，且这个三角形的内角和恰好是边形的内角和，所以边形的内角和等于°。
②根据定理我们可以看到，内角和随着边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°。
③利用内角和知识解决，如图∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是多少？
析解：连接，在⊿和⊿中，因为∠=∠，所以∠4+∠5=∠8+∠9，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠8+∠9+∠6+∠7（恰好是五边形的五个内角）=°
（微课精讲)
三、正多边形的定义
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形
① 内角都相等、边也都相等，二者缺一不可，内角都相等的多边形不一定是正多边形，如：矩形；边都相等的多边形不一定是正多边形，如：菱形。
②由于正多边形的每个内角都相等，所以它的每个外角也都相等。
四、多边形外角和定理
多边形外角和都等于360°
①外角和是在每一个顶点都只取一个外角。
②同一个顶点的一个外角和它相邻的内角互补。
③多边形的外角和不随边数变化，都等于360°。
④利用所学知识完成，小明和同学们做游戏，规定从点向前走20米，左拐30°，再向前走20米，再左拐30°，直到回到点，请问小明共走了多少米？
析解：小明走的路线构成一个正多边形，小明走的路程就是这个正多边形的周长，根据已知得这个正多边形的每个外角均为30°，所以这个多边形的边数为，所以小明共走了米。
（知识点精讲一)
（知识点精讲二)
二 《多边形内角和与外角和》讲解
三 《多边形内角和与外角和》习题
如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A′B′C′D′E′．
（1）图中5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′J能拼成一个五边形吗？说明理由；
（2）证明五边形A′B′C′D′E′的周长比五边形ABCDE的周长至少增加25个单位．
图1
解析：本题考察了空间想象能力、联想能力、转化与化归思想.
图2
（1）想象力与转化思想考察
如图1和图2，通过观察可以发现五块阴影部分是可以拼成一个五边形的.接下来要做的就是证明.下面来观察要证明的要素：
首先：AH与EJ能正好重合，其它四处也是.
根据平移的性质得BF=AG=AH=EJ=EK=DL=DM=CN=CO=BP=4；
其次：点A’、H(J)、E’拼接后在一条直线上，这由平移的性质可可知：∠AHA’=∠EJE’=90°，即∠AHA’+∠EJE’=180°.其它四处也有同样的性质.这样外部的边就拼成五边形了.
再次：内部正好可以无缝拼接，也就是∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=360°.这可以证明如下
因为每个四边形里都有两个直角，所以根据四边形的内角和为360°，得到
∠A′+∠GAH=180°，∠B′+∠PBF=180°，∠C′+∠NCO=180°，∠D′+∠MDL=180°，∠E′+∠KEJ=180°，
而由平行的性质可证得
∠A′=∠A，∠B′=∠B，∠C′=∠C，∠D′=∠D，∠E′=∠E.
根据五边形内角和得
∠A′+∠B′+∠C′+∠D′+∠E′=（5-2）×180°=3×180°，则∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=360°.
由以上三步可判断5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一个五边形.
图1
图2
（2）联想与想象边考察
如图2，本题其实就是证明由阴影部分拼成的小五边形A′B′C′D′E′的周长大于25个单位长度.
像这样证明大于的情况，一般要有个比较. 通过观察这个图形我们会发现，这个五边形内部藏着一个半径为4的圆. 小五边形A′B′C′D′E′的周长大于这个圆的周长，所以只要求出圆的周长，就可能解决问题：
三 《多边形内角和与外角和》图文课件
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