初一数学《探索与表达规律》知识点精讲
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知识点总结
知识点一、探索一列数的变化规律
数列的概念：按照一定的次序排列的一列数叫作数列。
注意：
①规律蕴含在相邻两数的差或倍数中；
②以数列的前几项为一组，以组为单位找出关系和规律；
③需将数列分解，通过对比找出规律。
例1 （1）找规律填空：
①1,1,2,3,5,8，（ ），（ ），… ②4,9,16,25，（ ），（ ），64,81，…
③10,14,22,38,70,134，（ ），（ ），…
（2）有一列数为1,2,3,2,3,4,3,4,5，…则这列数中第50个数是（ ）。
（3）已知一列数：
（4）已知一列数：1，
（5）观察下列等式：9-1=8，16-4=12,25-9=16,36-16=20，…，
设n（n≥1）为自然数，用关于n的等式表示这些等式所反映的规律是： 。
（6）观察下面的算式：1+2+1=4；1+2+3+2+1=9；1+2+3+4+3+2+1=16；
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…
①你发现的规律是： （用代数式表示）。
②计算1+2+3+4+5+…+99+100+99+…+5+4+3+2+1的值是多少？
知识点二、探索数的规律应用
注意：解答此类问题首先要读懂题意，其次要正确地找出规律，列出代数式，最后要加以验证的过程。
例2 （1）将一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折6次，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
（2）各大体育赛场上，小组中往往采取单循环赛制（如世界杯足球赛、世乒赛等），若4支球队进行单循环比赛，则总的比赛场数为多少？若有5支球队呢？有n支球队呢？
（3）某校气象小组为研究气温随海拔高度变化的关系，在学校附近的一座小山上实地测量了不同高度的气温，测得的结果如下表：
海拔搞丢h（米） | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 |
气温T（℃） | 20 | 19.4 | 18.8 | 18.2 | 17.6 |
①探求：用含有海拔高度h（米）的代数式表示温度T（℃）的式子是？
②计算海拔高度为450米时的气温是多少？
知识点三、探索一组图形的变化规律
已知一组按照规律排列的图形，可以根据几个形式比较简单的图形列出序号及对应的数量关系，分析其存在的内在联系，列出代数式并加以验证的过程以确保其正确性。
例3 （1）按照下列的方式，用火柴搭成正方形，解决下列问题：
①当正方形的个数是7个时，火柴棒的根数是（ ）根。
②当正方形的个数是n个时，火柴棒的根数是（ ）根。
（2）用小棒按照如图方式摆放，摆第8个图形需要（ ）根小棒，摆第n个图形需（ ）个小棒。
（3）如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字6个棋子，第二个“上”字10个棋子，第三个“上”字14个棋子，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第90个“上”字需用（ ）个棋子。第n个“上”字需用（ ）棋子。
（4）.用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）根火柴棒，搭第n个图形需要（ ）根火柴棒。
知识点四、数与图形相结合的规律探索
例4 （1）将自然数1、2、3、4、…按如图排列：从1开始，下面写2，然后向右转写3、4，然后向上转写5、6、7，依次写下去，这样第一次转弯是2，第2次转弯是4，第3次转弯是7，第4次转弯是11……
①第10次转弯是几？
②第2011次转弯是几？
（2）自然数按右下图的规律排列，回答下列问题：
①求上起第l0行，左起第l3列的数是多少？
②数127应在上起第几行、左起第几列?
（3）把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
①当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？
②当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
考点
方法技巧：解决此类问题的关键在于找到一列数的周期，根据题从第一项开始列举，找到重复开始的第一项为止，通过列举法来找到这个周期。
分析：通过列举法就能发现，该列数三个周期一循环，依照此规律即可求解。
方法技巧：解决此类问题在于通过数图找到数与数之间的关系式。
分析：观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y即可。
方法技巧：解决此类问题在于通过数式找到数与数之间的关系式。
分析：通过计算得到，即每个数为它的序号数的平方减1。
方法技巧：解决此类问题在于通过数阵中的数字排列，找出规律。
分析：通过计算得到，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键。
方法技巧：解决此类问题在于通过观察上下左右数阵中数字之间的关系来找出规律。
分析：①本题的规律是第3列的数字每下一格是上一格多8，奇数行是从小到大，偶数行是从大到小；②第3列数的左上角与右上角的和都是中间数的2倍，依此即可求解；③框中间的数字是第3列的数字。
方法技巧：解决此类问题在于通过观察类比给出的数式裂项求解规律，进行迁移应用。
分析：①由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，据此可得；
②利用所得规律求解可得；
③利用所得规律展开，两两相消求解可得。方法技巧：解决此类问题在于通过给出的数式，归纳总结出规律，直接应用求值。
分析：①根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；
②根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可。
方法技巧：解决此类问题在于通过给出的数式计算规律，同样类比套用总结出普适规律，多用的都是错位相减的思想，属于高中必修内容。
分析：仿照给出的例子，用同样的方法来计算求解一遍即可。
教学设计
一、教材分析
《探索与表达规律》是北师大版数学教材七年级上第三章《字母表示数》的第5节，是学生初步学习数学符号语言后在应用方面的升华。本节课的学习目标定位于：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。“探索与表达规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值，被新课程单列为一个独立部分，也从一个侧面说明了其重要的教育地位和意义。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型；其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。建立学生的模型思想。
二、学情分析
1. 学生在前面几节已经学习了用字母表示数的意义，学习了去括号，合并同类项等法则，这为顺利完成本节课打下了基础，但对于复杂问题的规律的寻求和理解可能会产生一些困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的分析。
2. 七年级学生具有好奇好动、敢于质疑、大胆实践的性格特征，分析、思考、归纳、推理、判断等思维能力也达到了一定的水平，质疑、探究、讨论、合作的意识比较强，开展小组合作交流活动也有一定的经验，因此，学生都非常愿意在老师的指导下，通过操作和想象，通过合作与交流，自主探索和研究知识，充分体现学生是学习的主任，教师是教学活动的组织者、引导者和参与者。
针对七年级学生的认知结构和心理特征，我将本节课的教学方法确立为：
本节课采用“引导探索法”，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探究、合作交流，以观察、思考、讨论、交流贯穿于整个教学环节，面向全体学生，有效开发各层次学生的潜在智能，使每个学生都在原有基础上得到发展。
（1） 学法：学生在观察、自主探究、合作交流、归纳总结等活动中真正成为学习的主体，从被动学习到主动会学。
（2） 教法：通过创设问题情境，让学生经历先做后想再先想后做然后归纳概括等活动，让学生在实践中思考，在思考中实践，帮助学生突破重难点。
三、学习目标分析
1. 知识与技能
（1） 会用字母、运算符号表示简单问题的规律，并能验证所探索的规律。
（2） 能综合所学知识解决实际问题和数学问题，从数学的角度分析规律，发展学生应用数学的意识。
2. 过程与方法
（1）经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律的过程。
（2）教学中要鼓励学生在独立思考的基础上探索出规律，教师一定要鼓励算法的多样性。
（3）选择的素材以游戏为主，在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象还有类比，转化思维方法，发展学生抽象思维能力，培养学生良好的思维品质。
3. 情感、态度与价值观
通过对实际问题中规律的探索，引导学生积极观察生活并发现生活中的规律，激发学生的探究热情和对数学的学习热情。
四、教学重难点
（1）教学重点：
能用字母表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的规律
（2）教学难点：
解释问题时对字母表达这种代数策略的选择：利用代数式表达与运算设计游戏
五、教学手段
（1）以拍摄“小品”小视频的形式展现例题
（2）PPT
六、学习过程
【第一环节】
1. 师生活动：将数学书99页例题，课前由学生拍成小品形式，在课上播放
设计目的：
（1）将数学问题植入生活，并以一种轻松愉快的形式展示给学生。
（2）针对当下生活中的、网络里的骗局，将书上例题设计成“算命”的小品，也想以此教会学生生活中的事情都有其中的道理，引导他们不仅仅自己不封建迷信，还要学会利用学过的知识揭示生活中的骗局。
2.师生活动
问题设计：
（1）将生活中的问题再次转化为数学问题，将例题用PPT展示
（2）让出演“算命大师”的学生到讲台上，再次给全班同学一起“算命”。并引导学生在回答问题中，找出数字之间的关系。
设计目的：
（1） 将生活转化为数学，让学生清楚明白，所为的“算命”的科学依据
（2） 出演“算命大师”的学生在拍摄时，也是我写好了剧本，他负责表演，所以他当然不知道其中的原因。刚开始读完题测试，他一定会不知道下面的学生心里想的数是什么，这也就正好验证了“算命”先生并没有什么超能力。然后我再告诉他规则，他就能轻松知道答案。
3. 小组讨论
问题设计：
（1） 为什么这样做，就能知道对方心里想的数？是真有读心术吗？还是可以利用以前学过的知识解释原理？
（2） 仔细观察书上例题，找出老师修改过的地方，然后思考，老师为什么要这样改呢？如果改其他的地方（比如新数乘6）那么你还能快速的说出别人心里想的数码？
设计目的：
（1） 引导学生由字面上的“说出来的数减10即为心里想的数”发展到会利用字母表示数来验证规律
（2） 书上的例题的结果是“说出来的数减15即为心里想的数”，我修改之后是减10。目的就是为了引导学生说出：这样做是为了得到答案的时候更加简便。也是为了之后“设计游戏”做准备。
（3） 修改其他的地方，比如乘6，可以吗？这样做是不可以的。因为计算后的结果是10a+b+12+2a，也就是说，需要把他人说出的说减12后再减2a才能得到答案，而回答者并不知道对方心里想的a是多少。这些都是为了让学生知道，并不是随便编一道题就能猜出原数，都是给之后让学生自己“设计游戏”做准备。
4. 小组讨论：举一反三
问题设置：
（1） 你在心里随便想一个数，并将此数乘5加7，然后乘2减4，得到结果减10，之后再除以10。你把结果告诉我，我就知道你心里想的数。
（2） 你能根据代数式2（a－1）+2，赋予其一个背景，设计与前面类似的游戏吗？
（3） 你能仿照上面的例子，自己编一道“读心术”的题目吗？
设计目的：
（1） 即学即练让学生自己练习，体验学生带来的成功感。
（2） 提问第1题这道题设置的好不好？为什么不好？因为通过计算，其实回答者说出来的数与心里想的数是相同的。这样减小的问题的“迷惑性”，容易让答题者看出破绽。主要目的也是为了后来“设计游戏”做准备。
（3） 给出代数式，并赋予背景，设计游戏。是让学生学会游戏设计的过程，为后来“设计游戏”做准备。
【第二环节】
1. 师生活动：PPT展示书上习题
设计目的：利用动画引起学生的兴趣
2.师生活动：展示例题
设计目的：
（1）先给出例题，让学生找出规律。这个时候，很少有学生能得到答案。
（2）再给出字母表，这个时候，大多数学生就可以看出规律。然后借机根学生讲“视觉刺激”对学生的重要性。引导学生在未来的学习中，多动笔，多画图。有时，之后多“动笔”，答案就出来了。
（3）即学即练的问题设计最终的答案是“今晚吃烤串”，问题设置轻松愉快，体现了东北特色。也是想让学生在轻松愉快的环境中结束这节课。
【第三环节】
1. 师生活动：分享收获
（1） 让学生分享自己的收获
（2） 老师归纳总结
设计目的：
（1）知识层面的收获：教会学生在生活中学会观察特征→猜想规律→表示规律→验证规律→得出结论
（2）情感态度与价值观的收获
数学这门学科本身就是一个“发现”→“归纳”→“应用”的过程。因为不管是长方形面积公式还是三角形内角和等于180°，即便你不把它整理成册，它本身也是客观存在的。只不过，聪明的数学家们用他们的智慧，发现了它们，并整理分类，更好的服务于人类。我们的生活无非就是“发明”和“发现”的过程。（物理化学上主要是发明，数学跟过的是“发现”）比如：爱迪生发明了电灯，莱特兄弟发明了飞机……当然不是所有人都有发明新事物的智慧。那么我们平凡人呢？平凡人就要有一双善于发现的眼睛。大到发现可以赖以生存的生机（比如微信和淘宝，本身也都不是马化腾和马云发明的，而是他们在国外发现了商机引入中国的）小到发现生活中的小确幸（比如利用数学揭示生活中的骗局，利用数学让我们的生活更加便利。）
七、板书设计
八、反思与小结
《课标》将“育人为本”的教育理念再次明确了数学教学核心理念：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。教师的任务就是把“以人为本”和“生命教育”贯穿于每一节课的教学过程中。这节课设计的目的，首先是让学生们真正参与到课堂中，让他们通过实例体会数学在生活中的作用。其次，因为这节课入口比较宽，所以能吸引各个层次的学生都参与其中，更加能使学困生找到学习数学的信心和勇气。体会学习的快乐。
课堂教学是教师和学生共同的舞台，如何让每一名学生在舞台上演绎他们的学习过程是每个老师最大的盼望。设计好一节有价值的公开课，不仅仅让学生体会到与以往不同的课堂氛围，更是为了自己的成长奠定基石。在学习中有新的收获，在以后的工作中让学生由最大的收益。
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