初一数学《应用一元一次方程——打折销售》知识点总结
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1.与打折有关的概念
（1）进价：也叫成本价.
（2）标价：也称原价.
（3）售价：也叫成交价.
（4）利润：“获利”“盈利”“赚”.
（5）利润率：利润占进价的百分比.
（6）打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折.打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出.如打八折就是以原价的80%卖出.
2.利润问题中的关系式
（1）售价＝标价×折扣；
售价＝成本＋利润
售价＝成本×（1＋利润率）
（2）利润＝售价-进价=标价×折扣－进价
（3）利润＝进价×利润率；
利润＝成本价×利润率；
利润率＝利润/进价＝（售价-进价）/进价
考察角度1：求商品的进价和卖价
1.一件衣服按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批服装每件的成本价是多少元？
2.一件衣服按成本价提高40%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，结果每件仍获利15元，这批服装每件的成本价是多少元？
3.某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是多少元？
4.某商品打八折比打九折少花20元，那么这本书的原价是多少元？
5.小明买了20本练习本，店主给他八折优惠（即以标价的80%出售），结果便宜了32元，则每本练习本的标价是多少元？
6.某商品把进价2250元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为多少元？
7.某商场举行优惠活动，规定一次购物不超过200元的不优惠；超过200元的，全部按八折优惠.顾客买了一件服装，付款180元，这件服装的标价是多少？
A.180元 B.200元 C.225元 D.180元或225元
8.书店举行购书优惠活动：
（1）一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
（2）一次性购书超过100元，但不超过200元一律打九折；
（3）一次性购书200元以上一律打七折.
小明在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小明这两次购书原价的总和是多少元？
9.已知A、B两件商品的成本共1000元，老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，两件商品共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元.
10.某商品若按标价的七五折出售将亏25元，而按标价的九折出售将赚20元，问这种商品的标价是多少，进价是多少？
11.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折且让利40元销售，仍可获利10%，则x为（ ）
A．700 B．约773 C．约736 D．约856
考察角度：求商品的折扣
12.某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，将每件的销售价打折出售，但要求卖出一件商品所获的利润是降价前所获利润的90%，则折扣应为多少？
13.某商品进价为200元，原价为300元，折价销售后的利润率为5%，则此商品是按原价的几折销售的？
14.某服装店将品牌时装提价25%后，发现销路不好，要恢复原价，则应降价百分之多少.
15.书店里每本定价10元的书，成本是8元，为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打几折？
16..某商场以每件80元的价格购进了衬衫500件，然后以每件120元的价格销售了400件，商场准备将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
考察角度：预测盈利或亏损
17.某商店出售两件衣服，每件100元.其中一件赚10%，而另一件赔10%，那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？
18.某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目，已知每人每天能织布30m，或利用所织布制衣4件，制衣一件需要布1.5m，将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣．
（1）一天中制衣所获利润P=___（用含x的式子表示）；
（2）一天中剩余布所获利润Q=___（用含x的式子表示）；
（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11800元？
考察角度：选择购物方案
19.某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元.经洽谈后，甲店每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠.该班需乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）.问：
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？
20.超市促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按九折优惠；超过500元，超过部分按八折优惠，其中的500元仍按九折优惠.
某人两次购物分别用了134元和466元.问：
（1）此人两次购物，若物品不打折，值多少钱？
（2）此人两次购物共节省多少钱？
（3）若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的物品，是否更节省？说明理由.
五个基本概念：进价、标价、售价、利润、利润率.
三个基本公式：利润率=利润/进价×100%
利润=售价-进价
售价=标价×折扣
打折销售的基本等量关系式：
①标价=进价（1+利润率）；
②实际售价=标价×打折数；
④销售额=销售价×销售量
⑤销售利润=（销售价－成本价）×销售量
思维导图
习题精析
打折销售（利润问题）
3．（2016•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价？（利润率=
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【思路点拨】（1）利用利润率=
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
【答案与解析】
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
3270×0.8﹣x=9%x，
解得：x=2400，
答：这款空调每台的进价为2400元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），
答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【变式】（2015•滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（ ）
A．120元B．100元C．72元 D．50元
【答案】D．
解：设进货价为x元，由题意得：
（1+100%）x•60%=60，
解得：x=50.
4．（2015•怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．
【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x的值即需购买茶杯的数目．
【答案与解析】
解：设购买茶杯x只，依题意得
5x+125=4.5x+135，
解得：x=20．
所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．
【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
举一反三：
【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：
0.8x+20＝x-12，
解得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
——打折销售问题（一）
【例1】某商场把一个双肩背的书包按进价提高60%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利14元．这种书包的进价是多少元？
【分析】相等关系:售价-进价=利润(14元).
【解】设这种书包的进价是x元，其标价是（1+60%）x元，依题意，得
（1+60%）x•80%﹣x=14，解得：x=50，
答：这种书包的进价是50元．
【练习1】一家商店将某种服装按成本提高15%后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，问：
（1）这种服装每件的成本价是多少元？
（2）成本提高15%后的标价是多少?
【解】（1）设这种服装每件的成本价是x元，依题意，得
x•（1+15%）×90%﹣x=7，
解得：x=200．
答：这种服装每件的成本价是200元．
（2）x•（1+15%）=200×1.15=230（元）
答：成本提高15%后的标价是230元．
【例2】小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8.5折”．小明测算了一下，如果买100支，比按原价购买可以便宜27元，求每支铅笔的原价是多少？
【分析】相关关系：原价﹣现价=差额．
【解】设每支铅笔的原价是x元，依题意，得
100x﹣100×0.85x=27，
解得：x=1.8．
答：每支铅笔的原价是1.8元．
【练习2】王老师去菜市场为食堂选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊派主说：“多买按八折算，你要多少斤？”王老师报了数量后摊主同意按八折卖给王老师，并说：“之前一人只比你少买了5斤就是按标价的，还比你多花了3元呢！”你知道王老师购买了多少斤豆角吗？
【分析】相等关系：之前顾客花费－王老师的花费＝3元，再根据总价=单价×数量
【解】设王老师买了x斤豆角，则另一个顾客买了（x﹣5）斤豆角，依题意，得
3×0.8x+3=3（x﹣5），解得：x=30．
答：王老师买了30斤豆角．
【例3】某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？
【分析】相等关系：铅笔费用+圆珠笔费用＝87元，再根据总价=单价×数量．
【解】设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60﹣x）支，依题意，得
1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87，
解得：x=25，∴60﹣x=60﹣25=35．
答：卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支．
【练习3】某老板将A品牌服装每套按进价的2.5倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，五折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的三分之一，现售价与原售价相比，价格降了还是升了？说出你的理由．
【分析】先求出原售价及提价打折后的售价，再进行比较．
【解】设A品牌服装每套进价为x元，依题意，得（2.5x+50）×0.5﹣x=x/3x，
解得x=300．
原来售价2.5×300=750（元），
提价后打五折后价格为：
（2.5×300+50）×0.5=400（元），
∴400＜750，∴价格降了．
答：现售价与原售价相比，价格降低了．
——打折销售问题（二）
【例1】甲乙两人相约元旦一起到某书店购书，恰逢该书店举办全场9.5折的新年优惠活动．甲乙两人在该书店共购书15本，优惠前甲平均每本书的价格为20元，乙平均每本书的价格为25元，优惠后甲乙两人的书费共323元．
（1）问甲乙各购书多少本？
（2）该书店凭会员卡当日可以享受全场8.5折优惠，办理一张会员卡需交20元工本费．如果甲乙两人付款前立即合办一张会员卡，那么比两人不办会员卡购书共节省多少钱？
【分析】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，相等关系：甲购书实际费用+乙购书实际费用＝323元，再根据总价=单价×购买数量．
（2）相等关系：总花费=购买图书的总价×折扣率+会员卡工本费．
【解】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，依题意，得
[20x+25（15﹣x）]×0.95=323，
解得：x=7，∴15﹣x=8．
答：甲购书7本，乙购书8本．
（2）（20×7+25×8）×0.85+20=309（元），
323﹣309=14（元）．
答：办会员卡比不办会员卡购书共节省14元钱．
【练习1】某超市为了促销，对A、B两种商品进行打折出售．打折前，购买5件A商品和2件B商品需要88元，购买7件A商品和3件B商品需要124元．促销期间，购买100件A商品和100件B商品仅需1500元．
（1）求打折前每件A商品和B商品的价格．
（2）若B商品所打折扣为7.5折，求促销期间每件A商品的价格．
【分析】（1）设打折前每件A商品的价格为x元，每件B商品的价格为(88-5x)/2元(根据“打折前，购买5件A商品和2件B商品需要88元)，再根据：购买7件A商品的费用+购买3件B商品的费用＝124元”．
（2）设促销期间每件A商品的价格为z元，根据单价×数量=总价．
【解】（1）设打折前每件A商品的价格为x元，每件B商品的价格为(88-5x)/2元，依题意，得
解得：x=16，则(88-5x)/2=4．
答：打折前每件A商品的价格为16元，每件B商品的价格为4元．
（2）设促销期间每件A商品的价格为z元，依题意，得
100×4×0.75+100z=1500，
解得：z=12．
答：促销期间每件A商品的价格为12元．
【例2】某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同．
甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠．
乙家的规定如下表：
数量范围（千克） | 不超过50的部分 | 50以上但不超过150的部分 | 150以上的部分 |
价格（元） | 零售价的95% | 零售价的85% | 零售价的75% |
表格说明：批发价分段计算：如：某人批发200千克的苹果；
则总费用=50×8×95%+100×8×85%
+50×8×75%.
（1）如果他批发240千克苹果选择哪家批发更优惠；
（2）设他批发x千克苹果（x＞100），当x取何值时选择两家批发所花费用一样多．
【分析】（1）分别计算出各自的费用，再进行比较；
（2）分100＜x≤150 、x＞150及当100＜x≤150三种情况，分别用含x的式子表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用．然后得出存在相等的情况；，再分别计算不等情况。
【解】（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（150﹣50）×8×85%+（240﹣150）×8×75%=1600（元）．
∵1632＞1600，
在乙家批发更优惠．
（2）分以下几种情况考虑：
当100＜x≤150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（x﹣50）×8×85%=6.8x+40．
显然不可能相等；
当x＞150时，
在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，
在乙家批发所需费用为：50×8×95%+（150﹣50）×8×85%+（x﹣150）×8×75%=6x+160．
当6.8x=6x+160，∴x=200．
综上，当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多．
【例3】平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 .
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【详细解析】
（1）分析：设甲的进价为x元/件，根据“（甲）利润率（为50%）＝（售价－进价）/进价”或“售价－进价＝进价×利润率”，可得到方程：
60－x＝50%·x；解得即可.而乙的利润率，则可直接利用“（甲）利润率＝（售价－进价）/进价”求得.详细解答如下：
【解答】设甲的进价为x元/件，则60－x＝50%·x，解得：x=40．所以甲的进价为40元/件；乙商品的利润率为(80-50)÷50=60%.
（2）分析：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“甲种商品的总进价+乙种商品的总进价＝2100元”，不难列出方程，解之即可. 详细解答如下：
【解答】设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，依题意，得：40x+50（50﹣x）=2100，解得：x=40．
答：购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）分析：直接求出所购买的件数，相应较烦，可以先求出打折前应付的款，相应方便，同时因504＞450元，所以享受到优惠，但具体是属于何种情况优惠暂不明了，因此要分两种情况讨论：（设小华打折前应付款为y元，）
①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，此时应付款09y元，得方程为：0.9y=504；
②当打折前购物金额超过600元时，此时应付款分为两部分：600元应付的款+超过600元部分应付的款=504，从而得到方程：600×0.82+（y﹣600）×0.3=504.详细过程如下：
【解答】设小华打折前应付款为y元，
①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，依题意，得：0.9y=504，解得：y=560，
560÷80=7（件），
②当打折前购物金额超过600元时，600×0.82+（y﹣600）×0.3=504，解得：y=640，640÷80=8（件），
综上所述，可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
习题练习
1. 小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8.5折”．小明测算了一下，如果买100支，比按原价购买可以便宜27元，求每支铅笔的原价是多少？
分析
相关关系：原价﹣现价=差额．
解
设每支铅笔的原价是x元，依题意，得
100x﹣100×0.85x=27，
解得：x=1.8．
答：每支铅笔的原价是1.8元．
2. 王老师去菜市场为食堂选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊派主说：“多买按八折算，你要多少斤？”王老师报了数量后摊主同意按八折卖给王老师，并说：“之前一人只比你少买了5斤就是按标价的，还比你多花了3元呢！”你知道王老师购买了多少斤豆角吗？
分析
相等关系：之前顾客花费－王老师的花费＝3元，再根据总价=单价×数量
解设王老师买了x斤豆角，则另一个顾客买了（x﹣5）斤豆角，依题意，得
3×0.8x+3=3（x﹣5），解得：x=30．
答：王老师买了30斤豆角．
3. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？
分析
相等关系：铅笔费用+圆珠笔费用＝87元，再根据总价=单价×数量．
解
设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60﹣x）支，依题意，得
1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87，
解得：x=25，
∴60﹣x=60﹣25=35．
答：卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支．
4. 某老板将A品牌服装每套按进价的2.5倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，五折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的三分之一，现售价与原售价相比，价格降了还是升了？说出你的理由．
分析
先求出原售价及提价打折后的售价，再进行比较．
解
设A品牌服装每套进价为x元，依题意，得（2.5x+50）×0.5﹣x=x/3x，
解得x=300．
原来售价2.5×300=750（元），
提价后打五折后价格为：
（2.5×300+50）×0.5=400（元），
∴400＜750，∴价格降了．
答：现售价与原售价相比，价格降低了．
填空题
①一件商品原价为120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为_____元.
②某件商品进价是270元，八折销售可获利润50元，则原售价为_____元.
③某件商品的进价是1530元，若按商品标价的九折出售，利润率是15%，求该商品的标价？
④某老板先把一件商品按成本提高50%后标价，再打八折销售，标价为600元，这种商品的成本是多少？商家的利润为多少元？
⑤某商场售货员同时卖出两件衣服，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？
练后反思的习惯
一般说来，习题做完之后，要从五个层次反思：
第一，怎样做出来的？想解题采用的方法；
第二，为什么这样做？想解题依据的原理；
第三，为什么想到这种方法？想解题的思路；
第四，有无其它方法？哪种方法更好？想多种途径，培养求异思维；
第五，能否变通一下而变成另一习题？想一题多变，促使思维发散。
当然，如果发生错解，更应进行反思：错解根源是什么？解答同类试题应注意哪些事项？如何克服常犯错误？“吃一堑，长一智”，不断完善自己。
初中学科辅导
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